Задача 64863

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (Диагональю называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)

Решение

  Построим выпуклый многогранник с n диагоналями. При  n = 0  годится любая пирамида.

  Пусть  n > 0.  Возьмём (n+2)-угольную пирамиду SA₁...A_n+2. Построим вне неё на грани SA_n+1A_n+2 как на основании пирамиду TSA_n+1A_n+2 (так, чтобы все  n + 4  построенных вершины находились в выпуклом положении). Объединение этих двух пирамид – выпуклый многогранник TSA₁...A_n+2, диагоналями которого являются отрезки TA₁, ..., TA_n и только они.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3