Задача 107749

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Ковальджи А.К.

Ученик не заметил знак умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.

Решение

  Пусть x, y – искомые трёхзначные числа. По условию  7xy = 1000x + y.

  Первый способ. Разделим обе части равенства на x:  7y = 1000 + ^y/_x.  Число ^y/_x положительно и меньше 10, так как  y ≤ 999,  x ≥ 100.  Поэтому
1000 < 7y < 1010.  Деля это неравенство на 7, получаем  ¹⁴²⁶/₇ < y < ¹⁴⁴²/₇.  Так как y – целое число,  y = 143 или 144.
  Подставляя  y = 143  в равенство, получаем   7x·143 = 1000x + 143.  Решая это уравнение, находим  x = 143.
  Если  y = 144,  то аналогичное уравнение даёт  x = 18,  а это число – не трёхзначное.

  Второй способ. Перепишем равенство в виде  1000x = (7x – 1)y.  Числа x и  7x – 1  взаимно просты. Значит,  7x – 1  – делитель числа 1000. Но
7x – 1 ≥ 7·100 – 1 = 699,  поэтому  7x – 1 = 1000,  откуда  x = 143.  Подставляя в исходное уравнение, находим  y = 143.

Ответ

143 и 143.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	8
задача
Номер	2