Задача 107758

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Галочкин А.И.

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Решение

  Пусть x – вычеркнутая цифра, a – часть числа слева от x, c – часть числа справа от x. Если цифра x стоит на (n+1)-м месте (считая справа), то исходное число имеет вид  10ⁿ⁺¹a + 10ⁿx + c.
  Пусть   10ⁿ⁺¹a + 10ⁿx + c = r(10ⁿa + c).  Ясно, что  2 ≤ r ≤ 19.  Кроме того,  (r – 1)c = 10ⁿ(10a – ra + x).  Значит,  (10 – r)a + x > 0,  то есть  (r – 10)a < x.  Поскольку  c < 10ⁿ,  то  r – 1 > 10a – ra + x,  или  r(a + 1) > 10a + x + 1.

  Лемма. a < 10 (то есть a – цифра).
  Доказательство. Рассмотрим три случая.
  1)  r > 10.  Тогда  a < x.
  2)  r < 10.  Поскольку  c < 10ⁿ,  то  r – 1 > 10a – ra + x,  то есть  9(a + 1) ≥ r(a + 1) > 10a + x + 1.  Отсюда  9 > a + x + 1,  то есть  a < 8.
  3)  r = 10.  Тогда  (r – 1)c  не делится на 10ⁿ. Противоречие.

  Число c по условию не кратно 10. Если c не кратно 5, то  r – 1  кратно 5, но не 25, значит,  n = 1,  т.е. число трёхзначно.
  Если c нечётно, то  n ≤ 4  (поскольку  r – 1  не делится на 32). Пусть  n = 4,  тогда  r – 1 = 16, (x – 7a)·5⁴ = c.  Поскольку x – это цифра,  a = 1,  x = 8 или 9.
При  x = 9  число c оканчивается нулем, что не так. При  x = 8  получаем  c = 625.

Ответ

180625.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	9
задача
Номер	5
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1994
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1445
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5