ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107765
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Малые шевеления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))n,  n > 1,  положительны?


Решение

  Достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны: любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.
  Назовём многочлен положительным, если все его коэффициенты положительны.
  Рассмотрим многочлен  f(x) = x4 + x³ + x + 1.  Легко видеть, что многочлены  f²(x) и  f³(x) положительны. Но сам многочлен  f(x) не является положительным: один из коэффициентов равен нулю. Чтобы получить многочлен с отрицательным коэффициентом, немного "пошевелим" многочлен  f(x), то есть рассмотрим многочлен  g(x) = f(x) – εx²  при достаточно малом  ε > 0.  Коэффициенты многочленов g² и g³ близки к коэффициентам многочленов  f² и  f³ и, значит, положительны.

Замечания

1. 4 балла.

2. Последнее утверждение может показаться нестрогим человеку, не знакомому с математическим анализом. В этом случае можно взять, например,
ε = 0,0001  и проверить, что соответствующие многочлены положительны.

3. Коэффициенты многочлена  f(x) = x4 + x³ + x + 1 можно записать как число: 11011, тогда коэффициенты  f² и  f³ можно записать в виде последовательности цифр  11011² = 121242121  и  11011³ = 1334996994331  (многочлены перемножаются "столбиком" так же, как многозначные числа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 1994
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1444
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .