Задача 107765

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Малые шевеления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Крыжановский О.Ф.

Существует ли такой многочлен P(x), что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени (P(x))ⁿ,  n > 1,  положительны?

Решение

  Достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны: любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.
  Назовём многочлен положительным, если все его коэффициенты положительны.
  Рассмотрим многочлен  f(x) = x⁴ + x³ + x + 1.  Легко видеть, что многочлены  f²(x) и  f³(x) положительны. Но сам многочлен  f(x) не является положительным: один из коэффициентов равен нулю. Чтобы получить многочлен с отрицательным коэффициентом, немного "пошевелим" многочлен  f(x), то есть рассмотрим многочлен  g(x) = f(x) – εx²  при достаточно малом  ε > 0.  Коэффициенты многочленов g² и g³ близки к коэффициентам многочленов  f² и  f³ и, значит, положительны.

Замечания

1. 4 балла.

2. Последнее утверждение может показаться нестрогим человеку, не знакомому с математическим анализом. В этом случае можно взять, например,
ε = 0,0001  и проверить, что соответствующие многочлены положительны.

3. Коэффициенты многочлена  f(x) = x⁴ + x³ + x + 1 можно записать как число: 11011, тогда коэффициенты  f² и  f³ можно записать в виде последовательности цифр  11011² = 121242121  и  11011³ = 1334996994331  (многочлены перемножаются "столбиком" так же, как многозначные числа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1994
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1444
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	10
задача
Номер	6