Информация о задаче

Задача 107768

Темы:	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Производная и экстремумы	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x⁴, опускают вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в области y $\ge$ x⁴ и содержащего начало координат?)

Решение

$\epsfbox{1994/ol94113-1.mps}$

Решим сначала другую задачу: построим окружность с центром на оси y, которая касается оси x и выясним, при каком наименьшем радиусе r она имеет с кривой y = x⁴ общую точку, отличную от начала координат (рис.). Иначе говоря, при каком наименьшем r система уравнений

y = x⁴, x² + (y - r)² = r²

имеет ненулевое решение. Интуитивно ясно, что эти задачи эквивалентны, позже мы докажем это строго.

Подставим y = x⁴ в уравнение окружности. Приведем подобные члены и сократим на x² (x > 0):

x⁶ - 2rx² + 1 = 0

Выразим r через x:

r(x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \Bigl($ x⁴ + $\displaystyle {\frac{1}{x^2}}$ $\displaystyle \Bigr)$ .

Искомое число r₀ есть минимум этой функции. Производная функции равна

r'(x) = 2x³ - $\displaystyle {\frac{1}{x^3 }}$ .

При x > 0 эта производная ведет себя следующим образом: она отрицательна при x < x₀ = ${\frac{1}{\sqrt[6]2}}$ , равна нулю в точке x₀ и положительна при x > x₀. Значит, r(x) убывает при 0 < x < x₀, достигает минимума при x = x₀ и возрастает при x > x₀.

Итак, наименьшее r, при котором окружность имеет общую точку с кривой y = x⁴, —

r₀ = r(x₀) = $\displaystyle {\frac{3\sqrt[3]2}{4}}$ .

Осталось показать, что это r₀ дает ответ и в исходной задаче. Покажем, сначала, что соответствующая вишенка целиком содержится в бокале. Действительно, при любом x $\ne$ 0 имеем r₀ $\le$ r(x). Подставляя в это неравенство выражение для r(x), получаем, что при любом x

x⁶ - 2r₀x² + 1 $\displaystyle \ge$ 0.

Умножая обе части на x² и подставляя y = x⁴, получим

x² + (y - r₀)² $\displaystyle \ge$ r₀²

при всех x, y = x⁴. Но это и значит, что вишенка находится в бокале.

Осталось показать, что если r > r₀, то вишенка не коснется начала координат. Действительно, в этом случае

x₀⁶ - 2rx₀² + 1 < 0,

поэтому при y₀ = x₀⁴ имеем

x₀² + (y₀ - r)² < r².

Это означает, что окружность радиуса r, касающаяся оси абсцисс в начале координат, пересекает график функции y = x⁴. Поэтому вишенка не касается дна.

Комментарии. 1^o. Нетрудно видеть, что "максимальная" вишенка касается кривой y = x⁴ в начале координат и еще в двух точках.

2^o. Аналогичную задачу можно решить для графика функции y = | x|^a при любом a. Для абсциссы точки касания "максимальной вишенки" получаем уравнение x^{2(a - 1)} = ${\frac{a-2}{a}}$ .

а) При a > 2 есть ненулевое решение, и ситуация такая же, как и при a = 4;

б) при a = 2 получим x = 0 и r = 1/2 — радиус кривизны графика в точке (0;0), — максимальная вишенка касается параболы в единственной точке;

в) при 0 < a < 2 никакой круг не может коснуться "дна" графика.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	11
задача
Номер	3