ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107775
Темы:    [ Боковая поверхность параллелепипеда ]
[ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Объем параллелепипеда ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ботин Д.А.

Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков,
  а) 962;   б) 960;   в) 958 квадратных единиц материала?


Решение

в) Объём коробки 11×13×14 равен 2002, а общая площадь её стенок равна  2(11·13 + 11·14 + 13·14) = 958.


Ответ

Достаточно.

Замечания

1. Минимальную площадь поверхности при заданном объёме среди всех параллелепипедов имеет куб – это следует из неравенства Коши. Значит, нужно пытаться подобрать коробку, близкую по форме к кубу, но с целыми длинами сторон. "Ближайшие" кубы: 13×13×13 (их объёмы 1728 и 2197). Вариант 12×13×13 даёт решение пункта а). Продолжая перебор, можно найти решение задачи.

2. 957 единиц материала на изготовление коробки не хватит.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 58
Год 1995
вариант
Класс 8
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .