ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107836
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны такие действительные числа  a1a2a3  и  b1b2b3,  что

a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3,   a1a2 + a2a3 + a1a3 = b1b2 + b2b3 + b1b3.
Докажите, что если  a1b1,  то  a3b3.


Решение

  Рассмотрим многочлены  P(x) = (x – a1)(xa2)(xa3)  и  Q(x) = (xb1)(xb2)(xb3).  Из условия следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.
  При xb1 имеем Q(x) ≤ 0. Действительно, каждый из трёх множителей в выражении для Q(x) неположителен, а произведение трёх неположительных чисел неположительно.   Итак,  Q(a1) ≤ 0,  P(a1) = 0.  Значит, график  y = Q(x)  получается из графика  y = P(x)  сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности,  Q(a3) ≤ P(a3) = 0.  Но при  x > b3  имеем  Q(x) > 0.  Следовательно,  a3b3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 60
Год 1997
вариант
Класс 10
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .