Задача 107836

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Фельдман К.Э.

Даны такие действительные числа  a₁ ≤ a₂ ≤ a₃  и  b₁ ≤ b₂ ≤ b₃,  что

a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃,   a₁a₂ + a₂a₃ + a₁a₃ = b₁b₂ + b₂b₃ + b₁b₃.

Докажите, что если  a₁ ≤ b₁,  то  a₃ ≤ b₃.

Решение

  Рассмотрим многочлены  P(x) = (x – a₁)(x – a₂)(x – a₃)  и  Q(x) = (x – b₁)(x – b₂)(x – b₃).  Из условия следует, что эти многочлены отличаются только свободным членом (достаточно раскрыть скобки). Поэтому график одного многочлена получается из графика другого сдвигом по оси ординат.
  При x ≤ b₁ имеем Q(x) ≤ 0. Действительно, каждый из трёх множителей в выражении для Q(x) неположителен, а произведение трёх неположительных чисел неположительно.   Итак,  Q(a₁) ≤ 0,  P(a₁) = 0.  Значит, график  y = Q(x)  получается из графика  y = P(x)  сдвигом вниз или совпадает с ним. В частности,  Q(a₃) ≤ P(a₃) = 0.  Но при  x > b₃  имеем  Q(x) > 0.  Следовательно,  a₃ ≤ b₃.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	10
задача
Номер	4