ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107863
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа x, y, z удовлетворяют равенству  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.


Решение

Заметим, что  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz – ½ = ½ (2x – 1)(2y – 1)(2z – 1).  Если левая часть равенства равна нулю, то хотя бы один множитель справа равен нулю. Значит, одно из чисел x, y, z равно ½.

Замечания

Догадаться до разложения на множители может помочь теорема Безу (см. задачу 60961): при  x = ½  наш многочлен обращается в ноль, значит, он делится на  x – ½.

Другой способ: согласно обратной теореме Виета  P(x, y, z) = – 4f (½),  где  f(t) = (tx)(t – y)(tz).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .