ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107864
Темы:    [ Производная в точке ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Wolfram S

Про непрерывную функцию f известно, что:

  1. f определена на всей числовой прямой;
  2. f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);
  3. график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.

Следует ли отсюда, что график f — прямая?

Решение

  \epsfbox{1998/ol98112-1.mps} Пример:

f (x) = $\displaystyle \left\{\vphantom{
2-x,\hbox{если }x\le 1;\\
1/x,\hbox{если }x>1.
}\right.$2 - x,еслиx$\displaystyle \le$1;
1/x,еслиx > 1.

(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций 2 - x и 1/x в точке 1 равны.

Докажем третье свойство. Очевидно, что если x рационально, то и f (x) рационально. Пусть y = f (x) рационально. Тогда или x = 2 - y, или x = $ {\frac{1}{y}}$. В любом случае x рационально. Значит, рациональным x соответствуют рациональные f (x) и наоборот.

Ответ

Нет, не следует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .