|
|
 |
Условие
Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.
Решение
Пусть n = a² + b² + c². Можно считать, что a ≥ b ≥ c, тогда a² + b² – c² > 0. Имеем:
n² = (a² + b² + c²)² = a4 + b4 + c4 + 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² = (a4 + b4 + c4 + 2a²b² – 2b²c² – 2a²c²) + 4b²c² + 4a²c² =
= (a² + b² – c²)² + (2bc)² + (2ac)².
Замечания
1. Попробуйте доказать аналогичное утверждение для суммы четырёх и более квадратов.
2. Для суммы двух квадратов утверждение неверно: (1² + 1²)² = 4 не представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, хотя есть аналогичное тождество: (a² + b²)² = (a² – b²)² + (2ab)².
3. Любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Это знаменитая теорема Лагранжа.
4. Есть числа (например, 7), которые не представимы суммой квадратов трёх целых чисел. Оказывается, число не представимо суммой трёх квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид (8k + 7)·4m.
5. По поводу сумм двух квадратов см. комментарий к задаче 107818.
6. Фактически, представимость результата в заданном виде мы доказываем не для чисел, а для многочленов от нескольких переменных, выписывая тождество. Можно задать такой вопрос:
при каких n произведение можно представить в виде
где P1, ..., Pn – многочлены от переменных a1, ..., an, b1, ..., bn?
Приведём соответствующие формулы при n = 1, 2, 4.
n = 1: a²b² = (ab)²;
n = 2 (тождество Диофанта): (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²;
n = 4 (тождество Эйлера):
Существует аналогичное тождество для n = 8. Для n, отличного от 1, 2, 4 и 8, таких тождеств не существует (хотя доказать это очень не просто). Первое тождество связано с действительными числами, второе – с комплексными, третье – с кватернионами, а невыписанное тождество (n = 8) – с октавами Кэли.
