ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107984
Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите x1000, если  x1 = 4,  x2 = 6,  и при любом натуральном  n ≥ 3  xn – наименьшее составное число, большее   2xn–1xn–2.


Решение

  Докажем по индукции, что  xn = ½ n(n + 3).
  База. При  n = 3, 4  формула верна:  2x2x1 = 8,  то есть  x3 = 9;  2x3x2 = 12,  то есть  x4 = 14.
  Шаг индукции.  2xn – xn–1 = 2·½ n(n + 3) – ½ (n – 1)(n + 2) = ½ (n + 1)(n + 4) – 1.  По условию, xn+1 – первое составное число, большее чем
½ (n + 1)(n + 4) – 1.  Но число  ½ (n + 1)(n + 4)  – составное. Действительно, если n нечётно, то  ½ (n + 1)(n + 4) = (n + 4)·½ (n + 1).  Каждый из сомножителей – целое число, большее 2. Аналогично рассматривается случай чётного n. Итак,  xn+1 = ½ (n + 1)(n + 4).
  Подставляя  n = 1000 , получаем  x1000 = 500·1003.


Ответ

501500.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 56
Год 1993
вариант
Класс 9
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .