Информация о задаче

Задача 107995

Тема:

[

Тождественные преобразования (тригонометрия)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Известно, что tg $\alpha$ + tg $\beta$ = p, ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ = q. Найти
tg ( $\alpha$ + $\beta$ ).

Решение

Если tg ( $\alpha$ + $\beta$ ) определен, то

tg ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ .

(2)

Произведение тангенсов связано с p и q следующим образом:

q = $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\alpha}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ .

(3)

Из ( ) получаем, что p и q либо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны.

1^o. Если p = 0 и q = 0, то из (1) получаем tg ( $\alpha$ + $\beta$ ) = 0. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ = 0 $\displaystyle \Rightarrow$ tg $\displaystyle \alpha$ = - tg $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 - tg $\displaystyle \alpha$ ^.tg $\displaystyle \beta$ = 1 + tg ² $\displaystyle \alpha$ > 0.

2^o. Если p $\ne$ 0, q $\ne$ 0 и p $\ne$ q, то из (2) получаем tg $\alpha$ ^. tg $\beta$ = ${\frac{p}{q}}$ и из (1) tg ( $\alpha$ + $\beta$ ) = ${\frac{pq}{q-p}}$ .

3^o. Если p $\ne$ 0, q $\ne$ 0 и p = q, то tg ( $\alpha$ + $\beta$ ) не определен.

4^o. Если p = 0 или q = 0, но p $\ne$ q, то условие задачи противоречиво.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	11
задача
Номер	1