ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107995
Тема:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что tg $ \alpha$ + tg $ \beta$ = p, ctg $ \alpha$ + ctg $ \beta$ = q. Найти
tg ($ \alpha$ + $ \beta$).

Решение

Если tg ($ \alpha$+$ \beta$) определен, то

tg ($\displaystyle \alpha$+$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$. (2)

Произведение тангенсов связано с p и q следующим образом:

q = $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\alpha}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$. (3)

Из ( ) получаем, что p и q либо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны.

1o. Если p = 0 и q = 0, то из (1) получаем tg ($ \alpha$+$ \beta$) = 0. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ = 0  $\displaystyle \Rightarrow$  tg $\displaystyle \alpha$ = - tg $\displaystyle \beta$  $\displaystyle \Rightarrow$  1 - tg $\displaystyle \alpha$ . tg $\displaystyle \beta$ = 1 + tg 2$\displaystyle \alpha$ > 0.

2o. Если p$ \ne$ 0, q$ \ne$ 0 и p$ \ne$q, то из (2) получаем tg $ \alpha$ . tg $ \beta$ = $ {\frac{p}{q}}$ и из (1) tg ($ \alpha$+$ \beta$) = $ {\frac{pq}{q-p}}$.

3o. Если p$ \ne$ 0, q$ \ne$ 0 и p = q, то tg ($ \alpha$+$ \beta$) не определен.

4o. Если p = 0 или q = 0, но p$ \ne$q, то условие задачи противоречиво.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 56
Год 1993
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .