Условие
Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника
и коэффициентом 
описанная окружность треугольника переходит
в окружность девяти точек.
Решение
Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , O – центр описанной
окружности, M – точка пересечения медиан. При гомотетии с центром в точке M и
коэффициентом - треугольник ABC переходит в треугольник A'B'C' с вершинами
в серединах сторон треугольника ABC . При этом центр O описанной окружности треугольника
ABC переходит в центр O' описанной окружности треугольника A'B'C' .
В то же время, при рассматриваемой гомотетии точка H пересечения высот
треугольника ABC переходит в точку O . Значит, точки O' , O , M и H лежат на одной
прямой. При этом MH=2OM и O'M=OM .
Обозначим OM=2t . Тогда
MH=2OM=4t, O'M=OM = t.
Поэтому
OO'=OM+MO'=2t+t=3t = OH.
Значит,
O' – середина отрезка
OH . Следовательно, при гомотетии с центром
H и
коэффициентом
точка
O переходит в точку
O' , а окружность с центром
O ,
описанная около треугольника
ABC – в окружность с центром
O' , описанную около
треугольника
A'B'C' .
При этой гомотетии точки
A ,
B и
C переходят в середины
A" ,
B" и
C" отрезков
соответственно
HA ,
HB и
HC . Значит, эти середины лежат на описанной окружности
треугольника
A'B'C' .
Поскольку
HA"=OA' , то середина отрезка
A'A" совпадает с точкой
O' . Значит,
A'A" –
диаметр окружности, описанной около треугольника
A'B'C' . Поэтому основание высоты
треугольника
ABC также лежит на этой окружности. Аналогично для оснований остальных
высот.
Таким образом, доказано, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника
и коэффициенттом
описанная окружность треугольника переходит
в окружность, проходящую через середины сторон, основания высот и середины отрезков,
соединяющих точку пересечения высот с вершинами треугольника, т.е. в окружность девяти точек,
причём центр этой окружности – середина отрезка
OH .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4285 |
