Задача 108006

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника и коэффициентом описанная окружность треугольника переходит в окружность девяти точек.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , O – центр описанной окружности, M – точка пересечения медиан. При гомотетии с центром в точке M и коэффициентом - треугольник ABC переходит в треугольник A'B'C' с вершинами в серединах сторон треугольника ABC . При этом центр O описанной окружности треугольника ABC переходит в центр O' описанной окружности треугольника A'B'C' . В то же время, при рассматриваемой гомотетии точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку O . Значит, точки O' , O , M и H лежат на одной прямой. При этом MH=2OM и O'M=OM . Обозначим OM=2t . Тогда

MH=2OM=4t, O'M=OM = t.
Поэтому
OO'=OM+MO'=2t+t=3t = OH.
Значит, O' – середина отрезка OH . Следовательно, при гомотетии с центром H и коэффициентом точка O переходит в точку O' , а окружность с центром O , описанная около треугольника ABC – в окружность с центром O' , описанную около треугольника A'B'C' . При этой гомотетии точки A , B и C переходят в середины A" , B" и C" отрезков соответственно HA , HB и HC . Значит, эти середины лежат на описанной окружности треугольника A'B'C' . Поскольку HA"=OA' , то середина отрезка A'A" совпадает с точкой O' . Значит, A'A" – диаметр окружности, описанной около треугольника A'B'C' . Поэтому основание высоты треугольника ABC также лежит на этой окружности. Аналогично для оснований остальных высот. Таким образом, доказано, что при гомотетии с центром в точке пересечения высот треугольника и коэффициенттом описанная окружность треугольника переходит в окружность, проходящую через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами треугольника, т.е. в окружность девяти точек, причём центр этой окружности – середина отрезка OH .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4285