Задача 108007

Темы:    [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть S' – окружность, гомотетичная с коэффициентом вписанной окружности s треугольника относительно точки Нагеля, а S – окружность, гомотетичная окружности s с коэффициентом - относительно точки пересечения медиан. Докажите, что: а) окружности S и S' совпадают; б) окружность S касается средних линий треугольника; в) окружность S' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a , AC=b , AB=c . Пусть A1 , B1 , C1 – середины сторон BC , AC , AB соответственно, A2 , B2 , C2 – точки касания вневписанных окружностей треугольника с этими сторонами, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AC , P – точка касания вписанной окружности со стороной BC , Q – центр вписанной окружности, M – точка пересечения медиан, p – полупериметр треугольника, N – точка Нагеля. Поскольку BP=p-AC = p-b и CA2=CK = AK-AC = p-b , то BP=CA2 . Поэтому середина A1 стороны BC является также серединой отрезка PA2 . Рассмотрим гомотетию с центром в точке A , переводящую вневписанную окружность, касающуюся стороны BC , во вписанную окружность треугольника ABC . При этой гомотетии точка A2 переходит в точку E лежащую на отрезке AA2 и на вписанной окружности треугольника ABC , причём касательная к этой окружности, проведённая в точке E , параллельна стороне BC . Поэтому точки E , Q и P лежат на одной прямой, причём Q – середина PE . Поскольку Q и A1 – середины сторон треугольника A2PE , то отрезок A1Q – средняя линия этого треугольника. Поэтому A1Q || AA2 . Аналогично докажем, что B1Q || BB2 и C1Q || CC2 . Тогда при гомотетии с центром M и коэффициентом - точка A переходит в точку A1 , луч AA2 – в луч A1Q , точка B – в точку B1 , луч BB2 – в луч B1Q , точка C – в точку C1 , луч CC2 – в луч C1Q . Точка N пересечения прямых AA2 , BB2 , CC2 ) переходит в точку пересечения прямых A1Q , B1Q , C1Q , т.е. в центр Q вписанной окружности s треугольника ABC . Значит, точка M лежит на отрезке QN и MN=2MQ . При этом окружность s переходит во вписанную окружность S треугольника A1B1C1 , При гомотетии с центром N и коэффициентом точки A , B , C переходят соответственно в середины A' , B' , C' отрезков NA , NB , NC , а вписанная окружность s треугольника ABC – во вписанную окружность S' треугольника A'B'C' . Из теоремы о средней линии треугольника следует, что треугольники A1B1C1 и A'B'C' равны. Значит, равны и радиусы вписанных окружностей S и S' этих треугольников. Осталось доказать, что эти окружности S и S' имеют общий центр. Центр Q2 вписанной окружности треугольника A'B'C' лежит на отрезке NQ и делит его пополам. В то же время, центр Q1 вписанной окружности треугольника A1B1C1 лежит на продолжении отрезка QM за точку M , причём Q1=QM , а т.к. MN = 2MQ , то Q1 – также середина NQ . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4286