Задача 108035

Тема:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Длины сторон остроугольного треугольника – последовательные целые числа.
Докажите, что высота, опущенная на среднюю по величине сторону, делит её на отрезки, разность длин которых равна 4.

Решение

Пусть стороны треугольника равны  n – 1,  n и  n + 1,  отрезки, на которые высота делит основание, – x и y, высота – h. (см. рисунок).

Тогда  (y – x)n = (y – x)(y + x) = y² – x² = (y² + h²) – (x² + h²) = (n + 1)² – (n – 1)² = 4n.  Отсюда  y – x = 4.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4315
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1989/1990
Номер	11
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2