Задача 108037

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и CD . На отрезке AB взяли точку M так, что AM=AC , а на отрезке CD – точку N так, что DN=DB . Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая MN параллельна прямой AD .

Решение

Поскольку CAB = CDB как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то CMB = CNB как внешние углы равнобедренных треугольников ACM и DBM c соответственно равными углами. Таким образом, отрезок BC виден из точек M и N под одним и тем же углом. Значит, эти точки лежат на одной окружности. Поэтому

BMN = BCN = BAD.
Следовательно, MN || AD .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4317