Задача 108050

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Точка P , лежащая на большей из двух дуг AB окружности, соединена с серединой M меньшей дуги AB . Хорды PL и PM пересекают хорду AB соответственно в её середине K и в некоторой точке N . Сравните отрезки KL и MN .

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой MK. Далее примените метод вспомогательной окружности.

Решение

Прямая KM проходит через середины дуги AB и середину хорды AB , поэтому прямая MK содержит диаметр окружности. Значит, окружность симметрична относительно этой прямой. Предположим, что точка P отлична от середины большей дуги AB (иначе KL=MN ). Пусть P' – точка, симметричная точке P относительно прямой MK . Тогда P' лежит на окружности, PP' || AB , а точка N' пересечения отрезков AB и MP' симметрична точке N относительно MK . Поэтому MN=MN' . Из теоремы о вписанных углах следует, что

KN'M= PP'M = PLM.
Значит, из точек N' и L отрезок MK виден под одним и тем же углом, причём эти точки лежат по одну сторону от MK . Поэтому, точки K , M , L и N' лежат на одной окружности, а т.к. MK AB , то MN' – диаметр этой окружности. Следовательно,
MN = MN'> KL
(диаметр есть наибольшая хорда окружности).

Ответ

KL MN .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4330