Задача 108056

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фомин Д.

Во вписанном четырёхугольнике ABCD длины сторон BC и CD равны. Докажите, что площадь этого четырёхугольника равна  ½ AC² sin∠A.

Решение

Рассмотрим треугольник AEC, равный треугольнику CDA (точки B и E находятся по разные стороны прямой AC). Поскольку  ∠ACE = ∠CAD = ∠BAC,  то
AB || CE.  Кроме того,  AE = CD = BC,  то есть ABCE – равнобедренная трапеция. Угол между её диагоналями равен  2∠BAC = ∠A,  и согласно задаче 54962  S_ABCD = S_ABCE = ½ AC² sin∠A.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4336
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1