Задача 108060

Темы:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Назаров Ф.

а) В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что BC > ½ AB.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A больше угла C, а угол D больше угла B. Докажите, что BC > ½ AD.

Решение

  а) По условию  AC < BC,  следовательно,  AB < AC + ВC < 2ВС.

  б) Из двух точек A и D выберем ту, которая расположена ближе к прямой BC (если расстояния одинаковы, то выберем любую из них). Пусть это будет точка A (см. рис.).

  На продолжении отрезка AB за точку A возьмём точку E. Через точку A проведём прямую, параллельную BC. Пусть M – точка пересечения этой прямой с прямой DC. Четырёхугольник ABCM – трапеция, причём  ∠B + ∠C < 180°  (так как  ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°  и  ∠A + ∠D > ∠C + ∠B).  Отсюда следует, что  AM < BC.  Луч AD проходит между сторонами угла EAM или совпадает с лучом AM (в силу выбора точки A). Поэтому   ∠DAM < ∠EAM = ∠ABC < ∠D.
  Применяя к треугольнику DAM утверждение пункта а), получим, что  AM > ½ AD,  а так как  AM < BC,  то  BC > ½ AD.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 2 + 3, 10-11 кл. – 1 + 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4340
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4