|
|
 |
Условие
Заданы две непересекающиеся окружности с центрами O1 и O2 и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках A1 и A2. Пусть B1 и B2 – точки пересечения отрезка O1O2 с соответствующими окружностями, а C – точка пересечения прямых A1B1 и A2B2. Докажите, что прямая, проведённая через точку C перпендикулярно B1B2, делит отрезок A1A2 пополам.
Решение
Восставим из точки B1 перпендикуляр к B1B2 до пересечения с A1A2 в некоторой точке E1. Этот перпендикуляр является касательной к первой окружности, поэтому треугольник B1E1A1 – равнобедренный. Перпендикуляр CD, о котором идет речь в условии, параллелен B1E1, поэтому треугольник CDA1 подобен треугольнику B1E1A1 (см. рис.) и тоже равнобедренный, CD = DA1. Аналогично CD = DA2.
Замечания
1. Разумеется, убедиться в том, что треугольники CDA1 и CDA2 равнобедренные, можно простым подсчетом углов.
2. 3 балла.
