Задача 108082

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

В угол вписана окружность с центром O. Через точку A, симметричную точке O относительно одной из сторон угла, провели к окружности касательные, точки пересечения которых с дальней от точки A стороной угла – B и C. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на биссектрисе данного угла.

Решение

  Пусть r – радиус окружности, вписанной в данный угол с вершиной S, M – точка касания этой окружности с прямой AB. Поскольку точка A симметрична точке O относительно стороны данного угла, то  OA = 2r.  Из прямоугольного треугольника OAM находим, что  OM : OA = r : 2r = 1 : 2.  Значит,  ∠OAM = 30°,  ∠BAC = 2∠OAM = 60°.
  Поскольку BO и CO биссектрисы углов ABC и ACB треугольника ABC, то  ∠BOC = 90° + ½ ∠BAC = 120°.

  Пусть D – точка, симметричная точке O относительно прямой BC. Тогда  ∠BDC = ∠BOC = 120° = 180° – ∠BAC.  Поэтому около четырёхугольника ABDC можно описать окружность. Центр этой окружности лежит на серединном перпендикуляре l к хорде AD, а так как   SD = SO = SA  и
∠DSO = ∠ASO  (в силу симметрии), то треугольник ASD – равнобедренный, а SO – биссектриса его угла при вершине. Следовательно, биссектриса данного в условии угла лежит на прямой l. Таким образом, центр описанной окружности четырёхугольника ABDC (а значит, и треугольника ABC) лежит на этой биссектрисе.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4362
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1997/1998
Номер	19
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5