Задача 108091

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены биссектриса AK, медиана BL и высота CM. Треугольник KLM – равносторонний.
Докажите, что треугольник ABC – равносторонний.

Решение

Заметим, что  KL = ML = AL,  то есть медиана KL треугольника AKC равна половине стороны AC. Поэтому этот треугольник – прямоугольный, то есть биссектриса AK треугольника ABC является его высотой. Следовательно,  AB = AC,  а K – середина BC. Значит, MK – медиана прямоугольного треугольника BMC, и  BC = 2MK = 2KL = AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6211
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	8
задача
Номер	4