Задача 108098

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ проведены биссектрисы CD и C₁D₁ соответственно. Известно, что  AB = A₁B₁,  CD = C₁D₁  и  ∠ADC = ∠A₁D₁C₁.
Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Решение

  Расположим данные треугольники так, чтобы точка A₁ совпала с точкой A, точка B₁ – с точкой B, а точки C₁ и C лежали в одной полуплоскости относительно прямой AB. Предположим, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ не равны. Тогда их вершины C и C₁ различны. Если точка C₁ не лежит на прямой CD, то из равенства углов ADC и AD₁C₁ следует параллельность прямых CD и C₁D₁.
  Пусть точки A и C₁ лежат по разные стороны от прямой CD. Тогда точки C и B лежат по разные стороны от прямой C₁D₁. При этом отрезок AC₁ пересекает прямую CD в некоторой точке E , а отрезок BC пересекает прямую BC в некоторой точке E₁. Обозначим  ∠ACD = ∠BCD = α,
∠AC₁D₁ = ∠BC₁D₁ = β.
  Применяя теорему о внешнем угле треугольника к треугольникам ACE и BC₁E₁ получим, что  α < β  и  β < α,  что невозможно. Значит, прямые CD и C₁D₁ совпадают. Поскольку  CD = C₁D₁,  точки C и C₁ также совпадают. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6218