Задача 108102

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Дан квадрат, внутри которого лежит точка O. Докажите, что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA отличается от 180° не больше чем на 45°.

Решение

  Пусть S – центр квадрата. Можно считать, что точка O принадлежит треугольнику ASB. Поскольку в треугольнике OBD  OD ≥ OB,  то  ∠OBD ≥ ∠BDO,  и поэтому  ∠OBC + ∠ODA = 45° + 45° + (∠OBD – ∠BDO) ≥ 90°.  Кроме того,  ∠OCD ≥ ∠ACD = 45°,  значит, рассматриваемая сумма больше
90° + 45° = 135° = 180° – 45°.
  По тем же причинам сумма  ∠OAD + ∠ODC + ∠OCB + ∠OBA  больше  180° – 45°.  Наша сумма дополняет её до 360°, то есть она меньше  180° + 45°.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6452