ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108105
Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.


Подсказка

Докажите, что ∠AEK = 180° – ∠A.


Решение

  Без ограничения общности рассмотрим случай, когда точка D лежит на стороне AB, а точка E – на продолжении стороны AC за точку C (см. рис.). Обозначим  ∠A = α.  Тогда  ∠BOC = 2α,  ∠OBC = ∠OCB = 90° – α.
  Поскольку точка E лежит на окружности с диаметром OK, то  ∠OEK = 90°,  а так как вписанные в окружность S углы OEC и OBC опираются на одну дугу, то  ∠OEC = ∠OBC = 90° – α.  Поэтому  ∠AEK = 90° + 90° – α = 180° – α.  Значит,  AD || KE.  Аналогично,  AE || DK.  Следовательно, ADKE – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6455
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .