ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108107
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?


Подсказка

Докажите, что лучи AM и AN делят диагональ BD на три равные части.


Решение

  Предположим, что это возможно. Пусть  ∠BAM = ∠MAN = ∠DAN,  лучи AM и AN пересекают диагональ BD в точках K и L соответственно, а O – центр параллелограмма. Поскольку K – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  BK = ⅔ BO = ⅓ BD.
  Аналогично  DL = ⅓ BD.  Значит,  BK = KL = DL.  В треугольнике ABL медиана AK является биссектрисой, поэтому треугольник ABL – равнобедренный, а AK – его высота. Аналогично AL – высота треугольника AKD. Таким образом,  AKBD  и  ALBD,  то есть из точки A на прямую BD опущено два различных перпендикуляра, что невозможно.


Ответ

Не могут.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6457
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 98.4.8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .