ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108108
Темы:    [ Признаки и свойства касательной ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Концентрические окружности ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, SA, SB, SC – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к SA, проведёнными из точки A, к SB – из точки B, и к SC – из точки C, равна 180°.


Решение

  Пусть окружность с центром O касается стороны AC в точке B1, а касательных к этой окружности, проведённых из точки B, – в точках B2 и B3. Тогда прямоугольные треугольники BOB2, BOB3, AOB1 и CO1 равны по катету (радиус этой окружности) и гипотенузе (радиус описанной окружности треугольника ABC). Поэтому  ∠B2BB3 = ∠OAC + ∠OCA.
  Аналогично остальные два угла равны  ∠OAB + ∠OBA  и  ∠OBC + ∠OCB.  Следовательно, сумма трёх углов, о которых говорится в условии задачи, равна
(∠OAC + ∠OCA) + (∠OAB + ∠OBA) + (∠OBC + ∠OCB) = (∠OAC + ∠OAB) + (∠OCA + ∠OCB) + (∠OBC + ∠OBA) = ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6458
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 98.4.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .