ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108110
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.


Решение 1

  Пусть касательная к окружности S, проведённая через точку C, пересекает окружность S' в точке M, лежащей на дуге AD, не содержащей точки E. Тогда
ACM = ∠ABC = ∠AED
  Поэтому  CM || DE,  а так как  OCCM  как радиус, проведённый в точку касания, то  OCDE.


Решение 2

  Пусть  α = ∠BDE = ∠BAE = ∠BAC.
  Из равнобедренного треугольника BOC находим, что  ∠ BCO = ½ (180° – ∠BOC) = ½ (180° – 2α) = 90° – α.
  Пусть P – точка пересечения прямых DE и OC. Тогда  ∠DCP = ∠BCO = 90° – α.
  Следовательно,  ∠CPD = 180° – (∠DCP + ∠CDP) = 180° – (∠DCP + ∠BDE) = 180° – (90° – α + α) = 90°,  то есть  DEOC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6460
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 98.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .