|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты соответственно точки X и Y, причём ∠ABX = ∠YAC, ∠AYB = ∠BXC, XC = YB.
Найдите углы треугольника ABC.
Решение
Лемма. Если стороны K1L1, K1M1 и угол K1L1M1 треугольника K1L1M1 соответственно равны сторонам KL, KM и углу KLM треугольника KLM, то либо ∠K1M1L1 = ∠KML и тогда треугольник K1L1M1 равен треугольнику KLM, либо ∠K1M1L1 = 180° – ∠KML.
Доказательство. Пусть дан треугольник KLM (см. рис.).
Построим треугольник K1L1M1 по данным сторонам K1L1 = KL, K1M1 = K1L1 и углу K1L1M1, равному углу KLM. Для этого от начала произвольного луча отложим отрезок L1K1 = LK, затем в одну из плоскостей, на которые разбивает плоскость прямая L1K1, отложим луч L1P, образующий с лучом L1K1 угол, равный данному углу KML. С центром в точке
K1 построим окружность радиусом, равным KM. Если эта окружность не пересекается с построенным лучом, то задача не имеет решений; если окружность имеет с лучом единственную общую точку, то задача имеет одно решение; если окружность пересекает луч в двух точках M1 и M2 (точка M2 лежит L1 и M1), то треугольник M1K1M2 – равнобедренный, поэтому ∠K1M2L1 = ∠K1M2M1 = ∠K1M1M2 = 180° – ∠K1M1L1.
Вернёмся к нашей задаче. Обозначим ∠ABX = ∠YAC = α, ∠AYB = ∠BXC = β (см. рис.).
Значит, треугольник ABC – равнобедренный, AB = BC. Рассмотрим треугольники XBC и YAB. Известно, что BC = AB, CX = YB и BXC = ∠AYB. Из леммы следует, что либо треугольники XBC и YAB равны, либо ∠XBC + ∠YAB = 180°. Второй вариант невозможен, так как в этом случае сумма углов треугольника AYB была бы больше 180°. Из равенства треугольников XBC и YAB следует равенство углов C и B, значит, треугольник ABC – равносторонний.
Ответ
60°, 60°, 60°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6470 |
