Задача 108150
|
|
 |
Условие
В прямоугольном треугольнике ABC точка O –
середина гипотенузы AC . На отрезке AB взята точка M ,
а на отрезке BC – точка N , причём угол MON – прямой.
Докажите, что AM2+CN2 = MN2 .
Подсказка
Рассмотрите симметрию относительно точки O.
Решение
При симметрии относительно точки O вершина A переходит
в вершину C , точка M – в некоторую точку M' , отрезок
AM – в отрезок CM' , равный AM . При
этом, поскольку AM BC и CM'|| AM , то
M'CN = 90o . Кроме того, в треугольнике
MNM' высота NO является медианой, значит, M'N=MN .
Следовательно,
