Задача 108166

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.

Решение

  Пусть CD – биссектриса, проведённая из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC,  A' и B' – проекции вершин A и B на прямую CD (см. рис.). Будем считать, что  AC ≥ BC.  По свойству биссектрисы  ^AD/_DB = ^AC/_BC ≥ 1.

  Прямоугольные треугольники ADA' и BDB' подобны, поэтому  ^A'D/_DB' = ^AD/_DB ≥ 1  ⇒   A'D ≥ B'D  ⇒   CD ≤ ½ (CB' + CA').
  Поскольку  ∠ACA' = ∠BCB' = 45°,  то  CA' = AA'  и  CB' = BB'.  Следовательно,  CD ≤ (CB' + CA') = ½ (AA' + BB').  Но  AA' + BB'  и есть длина проекции гипотенузы на любую прямую, перпендикулярную биссектрисе CD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	55
Год	1992
вариант
Класс	8
задача
Номер	5
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6513