Условие
Окружность, вписанная в треугольник
ABC касается
его сторон
AB ,
BC и
CA в точках
M ,
N и
K
соответственно. Прямая, проходящая через вершину
A
и параллельная
NK , пересекает прямую
MN в точке
D . Прямая, проходящая через вершину
A и параллельная
MN , пересекает прямую
NK в точке
E . Докажите, что
прямая
DE содержит среднюю линию треугольника
ABC .
Решение
Пусть прямые
AD и
AE пересекают прямую
BC в точках
F и
H соответственно. Рассмотрим треугольник
ABH .
В нём
MN || AH , а т.к.
BM=BN (отрезки касательных
проведённых к окружности из одной точки), то
AB=BH и
AM=NH .
Следовательно,
NH=AM=AK . Аналогично докажем, что
NF=AK ,
значит,
NF=NH , т.е.
N – середина стороны
FH треугольника
AFH .
По условию задачи
ND || AH , поэтому
D – середина
стороны
AF . Аналогично,
E – середина
AH . Значит,
DE –
средняя линия треугольника
AFH . Таким образом, прямая
DE
проходит через середину отрезка
AF параллельно прямой
BC ,
а т.к. точка
F лежит на прямой
BC , то прямая
DE проходит
через середины сторон
AB и
AC треугольника
ABC . Что и
требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6520 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1997 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
Класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
97.5.9.7 |
