|
|
 |
Условие
Окружность, вписанная в треугольник ABC касается
его сторон AB , BC и CA в точках M , N и K
соответственно. Прямая, проходящая через вершину A
и параллельная NK , пересекает прямую MN в точке
D . Прямая, проходящая через вершину A и параллельная
MN , пересекает прямую NK в точке E . Докажите, что
прямая DE содержит среднюю линию треугольника ABC .
Решение
Пусть прямые AD и AE пересекают прямую BC в точках F и H соответственно. Рассмотрим треугольник ABH . В нём MN || AH , а т.к. BM=BN (отрезки касательных проведённых к окружности из одной точки), то AB=BH и AM=NH . Следовательно, NH=AM=AK . Аналогично докажем, что NF=AK , значит, NF=NH , т.е. N – середина стороны FH треугольника AFH . По условию задачи ND || AH , поэтому D – середина стороны AF . Аналогично, E – середина AH . Значит, DE – средняя линия треугольника AFH . Таким образом, прямая DE проходит через середину отрезка AF параллельно прямой BC , а т.к. точка F лежит на прямой BC , то прямая DE проходит через середины сторон AB и AC треугольника ABC . Что и требовалось доказать.
