Задача 108180

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

Решение

Пусть BM – высота треугольника ABC,  ∠A = ∠C = 2α.  Тогда  ∠BAO₁ = ∠ABO₁ = 90° – 2α,  ∠AO₂O₁ = 90° + α.  Так как четырёхугольник ADOO₁₁OO₁₂ – вписанный, то  ∠ ADO₁ = 180° – ∠AO₂O₁ = 90° – α.
  Треугольник AO₁D – равнобедренный, поэтому  ∠DAO₁ = 2α.
  Кроме того,  ∠ABD = ½ ∠AO₁D = α.
  Значит,  ∠BDO₁ = ∠DBO₁ = ∠ABD + ∠ABO₁ = α + (90° – 2α) = 90° – α.
  Таким образом,  ∠BDO₁ = ∠DAO₁,  то есть BD – касательная к указанной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6527
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	97.4.10.7