Задача 108189

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Сонкин М.

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

Решение

Обозначим CAB= α , CBA = β . Если ρ – радиус описанной окружности треугольника ABC , то по теореме синусов

AC=2R sin α =2ρ sin β, BC=2r sin β =2ρ sin α.
Перемножив почленно эти равенства, получим, что
ρ2 sin α sin β = Rr sin α sin β.
Следовательно, ρ = , т.е. радиус описанной окружности треугольника ABC зависит только от R и r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6536
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1995
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	95.4.9.3