ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108193
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Подсказка

Точки A, E, F, O1 и O2 лежат на одной окружности.


Решение

Заметим, что BEO1 и BFO2 – углы при основаниях BE и BF равнобедренных треугольников BEO1 и BFO2 . Из равенства вертикальных углов O1BE и O2BF следует, что

O1EO2 = O1EB = O1BE = O2BF= BFO2 = O1FO2.

Значит, из точек E и F , лежащих по одну сторону от прямой O1O2 , отрезок O1O2 виден под одним и тем же углом. Поэтому точки E , F , O1 , O2 лежат на одной окружности. Обозначим её S . Из равенства по трём сторонам треугольников O1BO2 и O1AO2 следует равенство углов O1BO2 и O1AO2 . Поэтому
O1AO2 + O1EO2 = O1BO2 + O1EB= O1BO2 + O1BE = 180o.

Значит, точки E , A , O1 , O2 лежат на одной окружности, а т.к. через через точки E , O1 и O2 , не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность S , то на этой окружности лежат все пять точек A , E , F , O1 и O2 . Вписанные в окружность S углы FEO2 и AEO2 опираются на равные хорды O2F и O2A (радиусы окружности S2 ), поэтому FEO2 = AEO2 . С другой стороны, поскольку EF || MB , то FEO2 = MBE , значит,
AEB = AEO2 = FEO2 = MBE.

Вписанные в окружность S1 равные углы MBE и AEB опираются на равные хорды ME и AB . Поэтому ABEM – равнобедренная трапеция. Её диагонали равны, т.е. AE=MB . Аналогично докажем, что AF=BN . Следовательно,
MN= MB+BN = AE+AF.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6540
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 95.4.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .