Задача 108193
|
|
 |
Условие
Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .Подсказка
Точки A, E, F, O1 и O2 лежат на одной окружности.
Решение
Заметим, что BEO1 и BFO2 – углы при основаниях BE и BF равнобедренных треугольников BEO1 и BFO2 . Из равенства вертикальных углов O1BE и O2BF следует, чтоЗначит, из точек E и F , лежащих по одну сторону от прямой O1O2 , отрезок O1O2 виден под одним и тем же углом. Поэтому точки E , F , O1 , O2 лежат на одной окружности. Обозначим её S . Из равенства по трём сторонам треугольников O1BO2 и O1AO2 следует равенство углов O1BO2 и O1AO2 . Поэтому
Значит, точки E , A , O1 , O2 лежат на одной окружности, а т.к. через через точки E , O1 и O2 , не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность S , то на этой окружности лежат все пять точек A , E , F , O1 и O2 . Вписанные в окружность S углы FEO2 и AEO2 опираются на равные хорды O2F и O2A (радиусы окружности S2 ), поэтому
Вписанные в окружность S1 равные углы MBE и AEB опираются на равные хорды ME и AB . Поэтому ABEM – равнобедренная трапеция. Её диагонали равны, т.е. AE=MB . Аналогично докажем, что AF=BN . Следовательно,
