ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108198
Темы:    [ Неравенство треугольника ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Левин А.

Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.

Подсказка

Проведите серединный перпендикуляр l к отрезку CD. Точки A и B лежат в той полуплоскости с границей l, которая содержит точку C.


Решение

Лемма. Дан отрезок XY. Геометрическое место точек Z, таких, что ZX > ZY, есть полуплоскость с границей l, содержащая точку Y, где l – серединный перпендикуляр к отрезку XY.

Доказательство. Серединный перпендикуляр l к отрезку XY делит плоскость на две полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость, содержащую точку Y (рис. 1). Докажем, что для любой точки Z этой полуплоскости ZX > ZY. Действительно, поскольку точки X и Z лежат в разных полуплоскостях с границей l, то отрезок ZX пересекает прямую l в некоторой точке T.
По свойству серединного перпендикуляра TX = TY, поэтому ZY < TY + TZ = TX + TZ = XZ.

Докажем теперь, что если ZY < ZX, то точки Y и Z лежат в одной полуплоскости с границей l.

Точка Z не может лежать на прямой l, т.к. в этом случае ZY = ZX. Если же точки Y и Z лежат по разные стороны от прямой l, то точки Z и X лежат по одну сторону от этой прямой. В этом случае (см. первую часть доказательства) ZY > ZX, что противоречит условию.
Лемма доказана.

Рассмотрим теперь нашу задачу. Проведём серединный перпендикуляр l к отрезку CD (рис. 2). Поскольку AC и BC, то по доказанной лемме точки A и B лежат в той полуплоскости с границей l, которая содержит точку C. Значит, любая точка M отрезка AB также лежит в этой полуплоскости. Следовательно, MC < MD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6545
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 9
задача
Номер 94.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .