ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108206
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Иванов С.

В треугольнике ABC угол C – прямой. На стороне AC нашлась такая точка D, а на отрезке BD – такая точка K, что  ∠B = ∠KAD = ∠AKD.
Докажите, что  BK = 2DC.


Решение

  Пусть ∠B = ∠KAD = ∠AKD= α,  ∠BAK = β.
  На продолжении отрезка DC за точку C отложим отрезок CM = DC.  Тогда высота BC треугольника DBM является его медианой, поэтому треугольник DBM – равнобедренный с основанием DM.
  ∠ABK = ∠AKDBAK = α – β.  Поэтому  ∠CBM = ∠CBD = ∠B – ∠ABK = β,  ∠ABM = α + β = ∠BAM.
  Значит, треугольник ABM – равнобедренный с основанием AB,  BM = AM = BD. Следовательно,  BK = BD – DK = AM – AD = DM = 2DC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6553
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 03.4.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .