Задача 108219
|
|
 |
Условие
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.Решение
Первый способ. Пусть ABCDE – данный выпуклый пятиугольник, M и N – точки внутри него. Рассмотрим пять треугольников: ABC , BCD , CDE , DEA и EAB . Каждая из точек M и N лежит не более, чем в двух из этих треугольников. Значит, есть треугольник в котором нет точек M и N . Пусть это треугольник ABC . Тогда точки M и N лежат внутри четырёхугольника ACDE .
Второй способ. Пусть ABCDE – данный выпуклый пятиугольник, M и N – точки внутри него. Проведём прямую MN . В одной из образовавшихся полуплоскостей содержится не менее трёх вершин пятиугольника (из которых хотя бы две не лежат на прямой MN ). Отрезаем этот треугольник и получаем нужное разбиение.
