Задача 108222

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Дан треугольник ABC . На прямой AC отмечена точка B1 так, что AB=AB1 , при этом B1 и C находятся по одну сторону от A . Через точки C , B1 и основание биссектрисы угла A треугольника ABC проводится окружность , вторично пересекающая окружность, описанную около треугольника ABC , в точке Q . Докажите, что касательная, проведённая к в точке Q , параллельна AC .

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AA1 треугольника ABC пересекает описанную окружность этого треугольника в точке Q1 . Поскольку AB1 = AB , то точки B и B1 симметричны относительно прямой AA1 , поэтому
AB1A1 = ABA1 = ABC = AQ1C.
Значит, точки B1 , C , A1 и Q1 лежат на одной окружности – описанной окружности треугольника A1B1C . Следовательно, точка Q1 совпадает с точкой Q . Тогда
QCB1 = QA1B1 = BA1Q = 180^o - QMC = QB1C,
поэтому треугольник CQB1 – равнобедренный. Следовательно, касательная, проведённая через вершину Q к его описанной окружности, параллельна основанию CB1 . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6569
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	01.4.10.6