Задача 108223

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия трапеции ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Седракян Н.

Пусть AD – биссектриса треугольника ABC и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC , в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD , DC и MN касается прямой l .

Решение

Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC через O1 и O2 (рис.1), а середины отрезков BD , DC , MN , DO2 и O1O2 – через A1 , A2 , K , E и O соответственно. Пусть BAD = CAD = α . Тогда

BO1D = DO2C = 2α, A1O1D = A2O2D = α,

O1DO2 = 180^o - ( BDO1+ CDO2)=

=180^o - (90^o-α) -(90^o-α)= 2α.
Отрезок OK – средняя линия трапеции (или прямоугольника) O1MNO2 , поэтому OK l и
OK = = = + = OE + EA2.
Заметим, что точки E , O и A2 лежат на одной прямой, т.к.
OEO2 + O2EA2 = O1DO2 + O2EA2=

= O1DO2 + (180^o - DO2C)= 2α + (180^o-2α) = 180^o.
Значит, OA2=OE + EA2=OK . Аналогично докажем, что OA1=OK . Поэтому точки A1 , A2 и K лежат на окружности с центром O , а т.к. OK l , то эта окружность касается прямой l . Случай, когда вместо прямой l рассматривается прямая l1 , разбирается аналогично.


Пусть радиусы окружностей 1 и 2 с центрами O1 и O2 , описанных около треугольников ADB и ADC , равны R1 и R2 соответственно. Если эти радиусы различны, то прямая l пересекает линию центров O1O2 в некоторой точке Q (рис.2). Пусть QD пересекает эти окружности в точках B' и C' соответственно, а QA пересекает окружность 1 в точке A' , отличной от A .

При гомотетии H с центром Q и коэффициентом k= точки C' , D и A переходят в точки D , B' и A' соответственно, следовательно, DAC' = B'A'D . С другой стороны, B'A'D = B'AD , поэтому B'AD = C'AD . А это означает, что точки B' и C' совпадают с точками B и C , т.к. в противном случае один из углов BAD и CAD был бы меньше α , а другой – больше α ( α = B'AD = C'AD ).

Рассмотрим гомотетию H1 с центром Q , переводящую 2 в окружность , проходящую через точку E – середину отрезка MN . Из того, что l проходит через точку O и касается l следует, что касается l в точке E . Кроме того, из гомотетичности треугольников QNC и QMD (гомотетия H ) следует, что NC || MD . Кроме того H1(C) = C1 , где EC1 || NC . Поэтому EC1 – средняя линия трапеции CNMD , т.е. гомотетия H1 переводит точку C в середину DC . Аналогично, она переводит D в середину отрезка BD . Значит, проходит через середины отрезков BD и DC .

Если же R1=R2 , то вместо гомотетии следует рассмотреть параллельный перенос на вектор .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6570
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.4.11.3