Задача 108235
|
|
|
Условие
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что BM || AC.
Решение 1
Пусть биссектриса угла B треугольника ABC вторично пересекает S2 в точке O. Тогда OD = OC как хорды окружности S2, стягивающие равные дуги. Ясно также, что OA = OC, а следовательно, O – центр окружности S1. Поэтому ∠OBM = ∠ODM = 90°, то есть BO ⊥ BM. Значит, BM || AC.
Решение 2
∠MBC = ∠MDC = ∠DAC = ∠BAC = ∠ACB. Следовательно, BM || AC.
