ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108235
Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что  BM || AC.


Решение 1

MBC = ∠MDC = ∠DAC = ∠BAC = ∠ACB. Следовательно,  BM || AC.


Решение 2

Пусть биссектриса угла B треугольника ABC вторично пересекает S2 в точке O. Тогда  OD = OC  как хорды окружности S2, стягивающие равные дуги. Ясно также, что  OA = OC,  а следовательно, O – центр окружности S1. Поэтому  ∠OBM = ∠ODM = 90°,  то есть  BOBM.  Значит,  BM || AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6582
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1996
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 96.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .