Задача 108247

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Дан параллелограмм ABCD с углом A, равным 60°. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABD. Прямая AO пересекает биссектрису внешнего угла C в точке K. Найдите отношение  AO : OK.

Решение

Угол при вершине A треугольника ABC – острый, поэтому вершина A и центр O описанной окружности этого треугольника лежат по одну сторону от прямой BD.  ∠BOD = 2∠BAD = 120° = 180° – ∠BCD.  Значит, четырёхугольник OBCD – вписанный. Поскольку вписанные углы BCO и DCO опираются на равные хорды OB и OD, то CO – биссектриса угла BCD, а так как CK – биссектриса смежного с ним угла, то  ∠OCK = 90°.

  Пусть O₁ – центр описанной окружности треугольника CDB. Заметим, что треугольники CDB и ABD симметричны относительно центра параллелограмма, поэтому отрезки AO и O₁C равны и параллельны.
  Серединный перпендикуляр к отрезку OC проходит через точку O₁ и параллелен CK. Значит, он проходит через середину M отрезка OK, а O₁CKM – параллелограмм. Следовательно,  OM = MK = O₁C = AO.

Ответ

2 : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6594
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	00.4.10.3