Задача 108250

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .

Подсказка

Если O — центр вписанной окружности треугольника ABC, то BOC = 90^o + BAC.

Решение

Обозначим BAC = α . Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC . Тогда BO и CO – биссектрисы углов ABC и ACB . Поэтому

BOC = 90^o+ BAC = 90^o+.
Пусть O1 – точка, симметричная точке O относительно прямой BC . Тогда
BO1C = BOC = 90^o+.
По условию задачи точка O1 лежит на описанной окружности треугольника ABC , поэтому четырёхугольник ABO1C вписан в эту окружность. Значит,
BO1C + BAC = 180^o,
или
(90^o+) + α = 180^o.
Из этого уравнения находим, что α = 60^o .

Ответ

60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6597