Задача 108451

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E , расположенной в середине катета BC , опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB . Найдите углы треугольника ABC , если AE = · EL и BC > AC .

Решение

Обозначим ABC = β , EL = x . Из прямоугольных треугольников ELA , BLE и ABC находим:

AL= = = 3x,

BL = EL ctg β = x ctgβ, BE= = ,

AB=BL+LA = x ctg β + 3x, BC=2BE = .

BC = AB cos β, или = (x ctg β + 3x) cos β.
Решим это уравнение:
=( ctg β + 3) cos β 2=( ctg β +3) sin β cos β

2=3 sin β cos β+ cos2 β 2 sin2 β -3 sin β cos β+ cos2 β=0

2 tg2 β - 3 tg β + 1=0.
Значит, tg β = 1 или tg β = . Поскольку BC > AC , то условию задачи удовлетворяет только второй из этих корней. Следовательно,
β = arctg = arcctg 2.

Обозначим EL = x , BE=CE=2y . Из прямоугольных треугольников ELA , BLE и ABC находим, что
AL= = = 3x,

BL==,

(3x+)2=(10x2-y2)+4y2

3x=x2+y2 y4-7x2y2+10x4=0, (y2-5x2)(y2-2x2)=0.
По условию задачи BC>AC , поэтому y x (иначе треугольник BLE , а значит, и ABC , — равнобедренный. Следовательно, y=x . Тогда
BL==2x, ctg ABC==2.

Ответ

arctg 2 , arcctg 2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	977