Информация о задаче

Задача 108471

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC высота AD, медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке O. Найдите $\angle$ C, если OE = 2OC.

Подсказка

Примените теорему косинусов к треугольнику EOC.

Решение

Пусть OC = x и $\angle$ DCO = $\alpha$ . Тогда

EO = 2x, $\displaystyle \angle$ ACB = 2 $\displaystyle \alpha$ , CD = CO cos $\displaystyle \alpha$ = x cos $\displaystyle \alpha$ ,

AC = $\displaystyle {\frac{DC}{\cos 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{x\cos \alpha}{\cos 2\alpha}}$ , EC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC = $\displaystyle {\frac{x\cos \alpha}{2\cos 2\alpha}}$ .

По теореме косинусов из треугольника EOC находим:

EO² = CO² + CE² - 2CO^.CE cos $\displaystyle \alpha$ ,

или

4x² = x² + $\displaystyle {\frac{x^{2}\cos ^{2}\alpha}{4\cos ^{2} 2\alpha}}$ - $\displaystyle {\frac{2x\cdot x \cos ^{2}\alpha}{2\cos 2\alpha}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 12 cos²2 $\displaystyle \alpha$ = cos² $\displaystyle \alpha$ - 4 cos² $\displaystyle \alpha$ cos 2 $\displaystyle \alpha$ $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 28 cos²2 $\displaystyle \alpha$ + 3 cos 2 $\displaystyle \alpha$ - 1 = 0.

Отсюда находим, что cos 2 $\alpha$ = ${\frac{1}{7}}$ .

Ответ

arccos ${\frac{1}{7}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2139