|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла C в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC : AB = 3 : 2, а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла ACB.
Подсказка
Обозначьте ∠ACO = γ, ∠BAD = α. Выразите α через γ и примените теорему синусов к треугольнику ABC.
Решение
Пусть ∠C = 2γ, ∠BAD = α, ∠CAD = 3α, CE – диаметр описанной окружности ω треугольника CDO. Тогда ∠ODE = ∠OCE = γ, ∠CDE = 90°,
∠DEC = 90° – 2γ. Точка A лежит на продолжении отрезка DO за точку O, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка O. Значит, DEC – внешний угол треугольника ADE, откуда ∠DEC = 90° – 2γ = 3α + γ , то есть α = 30° – γ. Поэтому ∠B = 180° – 2γ – 4α = 60° + 2γ.
По теореме синусов и условию задачи После очевидных преобразований получим:
откуда
а так как 2γ < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2γ =
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2846 |
