ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108478
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BC и AC в точках D и E соответственно. Площадь треугольника CDE в семь раз меньше площади четырёхугольника ABDE. Найдите хорду DE и радиус окружности, если  AB = 4  и  ∠C = 45°.


Подсказка

Докажите, что треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Примените теорему синусов к треугольнику ADC.


Решение

  Треугольники CDE и CAB подобны по двум углам.
  По условию  SCDE = 1/8 SCDE.  Значит, коэффициент подобия треугольников CDE и CAB равен . Следовательно,  
  Обозначим  ∠CAD = α.  Тогда  ∠ADC = 135° – α.
  По теореме синусов     или    4 sin α = sin α + cos α,  откуда  ctg α = 3.  Поэтому  sin α = .

  Пусть R – искомый радиус. Тогда  


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2860

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .