Задача 108478

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BC и AC в точках D и E соответственно. Площадь треугольника CDE в семь раз меньше площади четырёхугольника ABDE. Найдите хорду DE и радиус окружности, если  AB = 4  и  ∠C = 45°.

Подсказка

Докажите, что треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом . Примените теорему синусов к треугольнику ADC.

Решение

  Треугольники CDE и CAB подобны по двум углам.
  По условию  S_CDE = ¹/₈ S_CDE.  Значит, коэффициент подобия треугольников CDE и CAB равен . Следовательно,  
  Обозначим  ∠CAD = α.  Тогда  ∠ADC = 135° – α.
  По теореме синусов     или    4 sin α = sin α + cos α,  откуда  ctg α = 3.  Поэтому  sin α = .

  Пусть R – искомый радиус. Тогда  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2860