Задача 108481

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Площади трёх из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвёртого треугольника. Найдите площадь данного четырёхугольника.

Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD . Если

S_{D AMD} = 30, S_{D AMB} = 10, S_{D CMD} = 20,
то
= = ,

S_{D BMC} = S_{D CMD} = < 10.
Разбирая остальные возможные случаи, убеждаемся, что возможны только два из них:
S_{D AMB} = 20, S_{D AMD} = 10, S_{D CMD} = 30
или
S_{D AMB} = 30, S_{D AMD} = 10, S_{D CMD} = 20.
В каждом из возможных случаев S_{D BMC} = 60 . Следовательно, S_ABCD = 10 + 20 + 30 + 60 = 120 .

Ответ

120.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3062