Информация о задаче

Задача 108501

Темы:	[	Подобные фигуры	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции с основаниями 1 и 4 расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Отрезок общей касательной данных окружностей, проведённой через их точку касания, разбивает данную трапецию на две подобных. Поэтому квадрат длины этого отрезка равен произведению оснований данной трапеции.

Решение

Пусть общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания K, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции ABCD в точках Q и P соответственно; окружность с центром O₁ радиуса r, вписанная в равнобедренную трапецию QBCP, касается её сторон BC = 1 и CP соответственно в точках M и E, а окружность с центром O₂ радиуса R, вписанная в равнобедренную трапецию AQPD, касается её сторон AD = 4 и DP соответственно в точках N и F. Тогда

CE = CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , DF = DN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD = 2.

Трапеции QBCP и AQPD гомотетичны относительно точки пересечения прямых AB и CD с коэффициентом, равным отношению радиусов вписанных в них окружностей. Значит, эти трапеции подобны. Поэтому BC : QP = QP : AD. Отсюда находим, что

QP = $\displaystyle \sqrt{BC\cdot AD}$ = $\displaystyle \sqrt{1\cdot 4}$ = 2.

Поэтому

PK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ QP = 1, EP = PK = PF = 1.

Поскольку СO₁ и PO₁ — биссектрисы углов BCP и CPQ, сумма которых равна 180^o, то $\angle$ CO₁P = 90^o. Из прямоугольного треугольника CO₁P находим, что

r = O₁E = $\displaystyle \sqrt{CE\cdot EP}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}\cdot 1}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

Аналогично находим, что

R = O₂F = $\displaystyle \sqrt{DF\cdot FP}$ = $\displaystyle \sqrt{2\cdot 1}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)MN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (1 + 4)(2r + 2R) = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\frac{15\sqrt{2}}{2}}$ .

Ответ

${\frac{15}{\sqrt{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3986