Версия для печати
Убрать все задачи

---

На клетчатой бумаге изобразите шестиугольник, который можно одним прямолинейным разрезом разделить на четыре равных треугольника. Покажите, как это можно сделать. (Вершины многоугольника должны располагаться в узлах сетки, но стороны и разрез не обязательно проводить по линиям сетки.)

   Решение

Темы:    [ Подобные фигуры ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции с основаниями 1 и 4 расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Отрезок общей касательной данных окружностей, проведённой через их точку касания, разбивает данную трапецию на две подобных. Поэтому квадрат длины этого отрезка равен произведению оснований данной трапеции.

Решение

Пусть общая касательная окружностей, проходящая через их точку касания K, пересекает боковые стороны AB и CD трапеции ABCD в точках Q и P соответственно; окружность с центром O₁ радиуса r, вписанная в равнобедренную трапецию QBCP, касается её сторон BC = 1 и CP соответственно в точках M и E, а окружность с центром O₂ радиуса R, вписанная в равнобедренную трапецию AQPD, касается её сторон AD = 4 и DP соответственно в точках N и F. Тогда

Трапеции QBCP и AQPD гомотетичны относительно точки пересечения прямых AB и CD с коэффициентом, равным отношению радиусов вписанных в них окружностей. Значит, эти трапеции подобны. Поэтому BC : QP = QP : AD. Отсюда находим, что

Поэтому

Поскольку СO₁ и PO₁ — биссектрисы углов BCP и CPQ, сумма которых равна 180^o, то CO₁P = 90^o. Из прямоугольного треугольника CO₁P находим, что

Аналогично находим, что

Следовательно,

Ответ

.

Источники и прецеденты использования